Численное решение краевой задачи Молоденского с фиксированной границей

Геодезия
УДК: 
528.2
DOI: 
10.22389/0016-7126-2025-1016-2-2-14
1 Нейман Ю.М.
2 Сугаипова Л.С.
3 Непоклонов В.Б.
Год: 
2025
№: 
2
1016
Страницы: 
2-14

Роскадастр, ППК

1, 
2, 
3, 
Аннотация:
Работа современных глобальных навигационных спутниковых систем позволяет считать поверхность Земли известной, по крайней мере частично. Поэтому можно пользоваться непосредственно результатами измерений на реальной поверхности Земли, что существенно упрощает всю теорию физической геодезии. В статье кратко описана теория краевой задачи Молоденского с фиксированной границей и ее возможные аппроксимации. Практическое решение предложено искать в виде глубокой нейросети. Выбор такой формы решения представляет собой определенную альтернативу современным методам физической геодезии и имеет принципиальное значение, поскольку использование именно нейросетей с их уникальной гибкостью и способностью обучаться на конкретных данных позволяет заметно расширить вычислительные возможности и надеяться на существование достаточно надежного локализованного решения. Кроме теоретических соображений в статье подробно описаны результаты численного эксперимента по определению высокочастотной части возмущающего потенциала в локальном районе
Исследование выполнено в рамках ФП «Поддержание, развитие и использование системы ГЛОНАСС» ГП Российской Федерации «Космическая деятельность России» на 2021–2030 гг. (ЕГИСУ № 1210806000081-5) и ГЗ FSFE-2023-0005 Минобрнауки России (123021300031-4)

Список литературы: 
1.   Гофман-Велленгоф Б., Мориц Г. Физическая геодезия / Пер. с англ. Ю. М. Неймана, Л. C. Сугаиповой; под ред. Ю. М. Неймана. – М.: Изд-во МИИГАиК, – 2007. – 426 c.
2.   Каллан Р. Основные концепции нейронных сетей / Пер. с англ. А. Г. Сивака. – М.: Вильямc, – 2001. – 287 c.
3.   Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики – М.: Физматгиз, – 1962. – 768 c.
4.   Мориц Г. Современная физическая геодезия – М.: Недра, – 1983. – 392 c.
5.   Мориц Г. Теория Молоденского и GPS (Памяти М.С. Молоденского) // Геодезия и картография. – 2001. – № 6. – С. 7–17.
6.   Нейман Ю. М., Сугаипова Л. С. Решение дифференциального уравнения Лапласа в виде глубокой нейросети как единый алгоритм приближенного решения задач физической геодезии в локальном районе // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 2023. – Т. 67. – № 1. – С. 104–106.
7.   Нейман Ю. М., Сугаипова Л. С., Конешов В. Н., Непоклонов В. Б. О решении краевых задач физической геодезии в виде глубоких нейросетей // Геофизические исследования. – 2024. – Т. 25. – № 2. – С. 5–19.
8.   Николенко С., Кадурин А., Архангельская Е. Глубокое обучение: погружение в мир нейронных сетей – СПб.: Питер, – 2018. – 480 c.
9.   Огородова Л. В. Нормальное поле и определение аномального потенциала – М.: МИИГАиК, – 2011. – 106 c.
10.   Павленко Д. Введение в машинное обучение и искусственные нейронные сети URL: https://clck.ru/3GUyJ6 (дата обращения: 25.01.2025).
11.   Axler S., Shin P. J. (2018) The Neumann problem on ellipsoids // Journal of Applied Mathematics and Computing. 57, pp. 261–278. DOI: 10.1007/s12190-017-1105-4.
12.   Backus G. E. (1968) Application of a non-linear boundary-value problem for Laplace's equation to gravity and geomagnetic intensity surveys // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 21, 2, pp. 195–221. DOI: 10.1093/qjmam/21.2.195.
13.   Bjerhammar A., Svensson L. (1983) On the geodetic boundary value problem for a fixed boundary surface – a satellite approach // Bulletin Geodesique. 57, pp. 382–393.
14.   Heck B. (1989) On the non-linear geodetic boundary value problem for a fixed boundary surface // Bulletin Geodesique. 63, pp. 57–67.
15.   Hornik K., Stinchcombe M., White H. (1989) Multilayer feedforward networks are universal approximators // Neural Network. 2, pp. 359-366.
16.   Koch K. R., Pope A. J. (1972) Uniqueness and existence for the geodetic boundary value problem using the known surface of the Earth // Bulletin Geodesique. 106, pp. 467–476.
17.   Leshno M., Lin V. Y., Pinkus A., Schocken S. (1993) Multilayer feedforward networks with nonpolynomial activation function can approximate any function // Neural Networks. 6, pp. 861–867.
18.   Najafi-Alamdari M., Ardalan A. A., Emadi S.-R. (2012) Ellipsoidal Neumann geodetic boundary-value problem based on surface gravity disturbances: case study of Iran // Studia Geophysica et Geodaetica. 56, pp. 153–170. DOI: 10.1007/s11200-010-0098-3.
19.   Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G. E. (2019) Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations // Journal of Computational Physics. 378, pp. 686–707. DOI: 10.1016/J.JCP.2018.10.045.
20.   Sansò F., Venuti G. (2008) On the explicit determination of stability constants for the linearized geodetic boundary value problems // Journal of Geodesy. 82, pp. 909–916.
21.   Yu J., Jekeli C., Zhu M. (2002) The analytical solutions of the Dirichlet and Neumann boundary value problems with ellipsoidal boundary // Journal of Geodesy. 76, pp. 653–667.
22.   Zingerle P., Pail R., Gruber T., Oikonomidou X. (2020) The combined global gravity field model XGM2019e // Journal of Geodesy. 94, 66, DOI: 10.1007/s00190-020-01398-0.
Образец цитирования:
Нейман Ю.М., 
Сугаипова Л.С., 
Непоклонов В.Б., 
Численное решение краевой задачи Молоденского с фиксированной границей // Геодезия и картография. – 2025. – № 2. – С. 2-14. DOI: 10.22389/0016-7126-2025-1016-2-2-14
СТАТЬЯ
Поступила в редакцию: 09.01.2025
Принята к публикации: 24.02.2025
Опубликована: 20.03.2025

Содержание номера

2025 февраль DOI:
10.22389/0016-7126-2025-1016-2