Обращение матриц поисковым методом при уравнивании геодезических сетей

Геодезия
УДК: 
528.06
DOI: 
10.22389/0016-7126-2022-984-6-21-29
1 Шевченко Г.Г.
2 Брынь М.Я.
3 Наумова Н.А.
Год: 
2022
№: 
6
984
Страницы: 
21-29

Кубанский государственный технологический университет

1, 
3, 

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

2, 
Аннотация:
В статье приведено теоретическое обоснование обращения матриц поисковым методом нелинейного программирования для целей уравнивания и оценки точности элементов геодезических сетей. Сформулирована и доказана теорема о единственности точки экстремума при минимизации целевой функции поисковым методом при выполнении обращения матриц. Сформулировано и доказано следствие из теоремы. Сформулировано замечание к следствию из теоремы. Составлен пошаговый алгоритм обращения матрицы поисковым методом нелинейного программирования. Апробация разработанного алгоритма выполнена при уравнивании и оценке точности элементов геодезической сети с учетом ошибок исходных данных. Корректность предлагаемых решений подтверждена совпадением результатов обращения ковариационной матрицы ошибок измерений, матрицы коэффициентов нормальных уравнений неизвестных с аналогичными расчетами, выполненными с помощью функции МОБР в программе Microsoft Excel. Итоговое совпадение результатов уравнивания и оценки точности элементов геодезической сети с аналогичными расчетами параметрическим способом в программе NW проф. В. А. Коугия показало корректность работы алгоритма поискового метода для обработки геодезических измерений, включающих математическую процедуру обращения матриц.

Список литературы: 
1.   Архипенков С. М. Итерационный метод обращения матриц // Вестник ТГТУ. – 2003. – Т. 9. – № 3. – С. 532–536.
2.   Барлиани А. Г. Анализ межотраслевых экономико-математических моделей с применением матричного тождества Шермана – Моррисона // Вестник Сибирской государственной геодезической академии. – 2001. – № 6. – С. 185–190.
3.   Барлиани А. Г. Модифицированный алгоритм Тихонова для решения вырожденных систем уравнений // Интерэкспо Гео-Сибирь. – 2010. – Т. 1. – № 1. – С. 120–122.
4.   Вержбицкий В. М. Итерационные методы с последовательной аппроксимацией обратных операторов // Известия института математики и информатики. – 2006. – № 2 (36). – С. 129–138.
5.   Вержбицкий В. М. Основы численных методов: Учебник для вузов – М.: Высшая школа, – 2002. – 840 c.
6.   Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления – М.: Наука, – 1984. – 320 c.
7.   Герасименко М.Д. Некоторые проблемы при решении плохо обусловленных нормальных уравнений // Геодезия и картография. – 2022. – № 2. – С. 57-62. DOI: 10.22389/0016-7126-2022-980-2-57-62.
8.   Голубев В. В. Геодезия. Теория математической обработки геодезических измерений: учеб. для вузов – М.: Изд-во МИИГАиК, – 2016. – 422 c.
9.   Гордеев В.А. Теория ошибок измерений и уравнительные вычисления: Учеб. пособие. – 2-е изд., испр. и доп – Екатеринбург: Изд-во УГГУ, – 2004. – 429 c.
10.   Коугия В.А. Избранные труды: Монография / Под ред. М. Я. Брыня. – СПб.: Петербургский гос. ун-т путей сообщения, – 2012. – 448 c.
11.   Куксенко С. П., Газизов Т. Р. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений с плотной матрицей – Томск: Томский государственный университет, – 2007. – 208 c.
12.   Макаров Г.В., Афанасьев В.В., Афанасьев В.В. Оценка точности при поисковых методах уравнивания // Геодезия и картография. – 1981. – № 11. – С. 20–22.
13.   Маркузе Ю. И. Обобщенный рекуррентный алгоритм уравнивания свободных и несвободных геодезических сетей с локализацией грубых ошибок // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. – 2000. – № 1. – С. 3–16.
14.   Маркузе Ю. И., Голубев В. В. Теория математической обработки геодезических измерений: Учеб. пособие для вузов – М.: Академический проспект, – 2020. – 247 c.
15.   Маркузе Ю.И., Лэ Ань Куонг, Чан Тиен Ранг Исследование исходной матрицы обратных весов неизвестных при рекуррентном способе уравнивания измерений // Геодезия и картография. – 2016. – № 11. – С. 7–10. DOI: 10.22389/0016-7126-2016-917-11-7-10.
16.   Математические методы и модели на ЭВМ. Учебно-методический комплекс для студентов специальности 1-56 02 01 «Геодезия» / Сост. и общ. ред. В. И. Мицкевича. – Новополоцк: ПГУ, – 2007. – 184 c.
17.   Машимов М. М. Методы математической обработки астрономо-геодезических измерений – М.: ВИА, – 1990. – 510 c.
18.   Мостовской А. П. Численные методы и система Mathematica: Учеб. Пособие – Мурманск, – 2009. – 249 c.
19.   Недожогин Н.С., Копысов С.П., Новиков А.К. Параллельное формирование предобусловливателя, основанного на аппроксимации обращения Шермана – Моррисона // Вычислительные методы и программирование. – 2015. – Т. 16. – Вып. 1. – С. 86–92.
20.   Недожогин Н. С., Сармакеева А. С., Копысов С. П. Высокопроизводительный алгоритм Шермана – Моррисона обращения матриц на GPU // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер.: Вычислительная математика и информатика. – 2014. – Т. 3. – № 2. – С. 101–108.
21.   Нейман Ю. М., Сугаипова Л. С. О вычислительной схеме метода наименьших квадратов // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 2019. – Т. 63. – № 1. – С. 21–31.
22.   Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. – Изд. 2-е – М.: Наука, – 1979. – 285 c.
23.   Тихонов А. Н., Большаков В. Д., Бывшев В. А., Ильинский А. С., Нейман Ю. М. О вариационном методе регуляризации при уравнивании свободных геодезических сетей // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 1978. – № 3. – С. 3–10.
24.   Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – Изд. 4-е, стер – СПб.: Лань, – 2009. – 736 c.
25.   Хворов С. А. Параллельный алгоритм обращения целочисленной матрицы: результаты экспериментов // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. – 2018. – Т. 23. – № 121. – С. 100–108.
26.   Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / Пер. И. М. Быховской и Б. Т. Вавилова. – М.: Мир, – 1975. – 536 c.
27.   Шевченко Г.Г. Использование поисковых методов для уравнивания и оценки точности элементарных геодезических построений // Геодезия и картография. – 2019. – № 10. – С. 10-20. DOI: 10.22389/0016-7126-2019-952-10-10-20.
28.   Bru R., Cerdán J., Marín J., Mas J. (2003) Preconditioning Sparse Nonsymmetric Linear Systems with the Sherman – Morrison Formula // SIAM Journal on Scientific Computing. 25 (2), pp. 701–715. DOI: 10.1137/S1064827502407524.
29.   Herzberger J., Petković L. (1990) Efficient iterative algorithms for bounding the inverse of a matrix // Computing. 44, pp. 237–244. DOI: 10.1007/BF02262219.
30.   Mehra R. K. (1969) Computation of the inverse Hessian matrix using conjugate gradient methods // Proceedings of the IEEE. 57, pp. 225–226. DOI: 10.1109/PROC.1969.6929.
31.   Sherman J., Morrison W. J. (1950) Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to a Change in One Element of a Given Matrix // The Annals of Mathematical Statistics. 21 (1), pp. 124–127. DOI: 10.1214/aoms/1177729893.
32.   Shevchenko G. G., Bryn M. Ya. (2019) Adjustments of correlated values by search method // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 698 (4): 044019, DOI: 10.1088/1757-899X/698/4/044019.
Образец цитирования:
Шевченко Г.Г., 
Брынь М.Я., 
Наумова Н.А., 
Обращение матриц поисковым методом при уравнивании геодезических сетей // Геодезия и картография. – 2022. – № 6. – С. 21-29. DOI: 10.22389/0016-7126-2022-984-6-21-29
СТАТЬЯ
Поступила в редакцию: 22.11.2021
Принята к публикации: 16.06.2022
Опубликована: 20.07.2022

Содержание номера

2022 июнь DOI:
10.22389/0016-7126-2022-984-6